全3回構成の第2回です。
第1回
第3回
第1回のまとめ
虹ができる方向は、水滴に対する光線追跡を行うことで求めることができる。水滴に対するある光の入射角を$i$、屈折角を$r$、偏向角を$d$とすると、水滴内で1回反射する場合には
\begin{equation}\label{eq:dir2} d=\pi+2(i-2r)\end{equation}
という関係がある。主虹は偏向角が最小値$D$を取る方向にでき、このときの入射角を$I$、屈折角を$R$とすると、$I$と水の屈折率$n$の間に
\begin{equation}\label{eq:cosI} \cos I=\sqrt{\dfrac{n^2-1}{3}}\end{equation}という関係が成り立つ。
過剰虹の原理
幾何光学は主虹・副虹のできる方向に対して非常に良い説明を与えるが、過剰虹の発生は光の波動性を考慮しなければ説明できない。ここでは主虹に対する過剰虹について考えていく。水滴に入射した光の波面（等位相面）の変化を図2に示した。
太陽光源は十分遠方にあるので、入射する光は平面波と見なすことができるが、水滴から出射する光の波面はDescartes光方向で折り返すような変形を受ける。この様子を分かりやすく捉えられるアニメーションがウェブサイト*2にある。位相の異なる光が重ね合わせられるので、最終的にDescartes光の近傍で干渉縞が表れることになり、これが過剰虹として観測される。
それでは、虹の強度分布の計算を書籍*3を参考にして行っていく。計算は、水滴から出射したDescartes光近傍の光のある方向への寄与を、位相差を考慮し足し合わせることで行われる。虹の観測は十分遠方で行われるので、これは水滴によるFraunhofer回折像を求めることに相当する。まずは、光の波面の位置を追跡し、これを入射角の関数として求めていく。
等位相面の追跡
波面の位置
図3のように$(X,Y)$座標系を取る。水滴の半径を$a$、空気に対する水の屈折率を$n$とし、波面が水滴に接触する時刻を$0$とすると、時刻$T$における光が伝搬した位置から出射点までの距離を$l$として
\begin{equation}a(1-\cos i)+4na\cos r+l=vT\label{}\end{equation}
となる。ここで、$v$は空気中での光速であり、水滴中では見かけ上の光路長が$n$倍されることを用いた。$T$として、球の中心へ向って入射した光が水滴表面へ戻ってくる時刻$T=4na/v$を選ぶと、
\begin{equation}l=a[4n(1-\cos r)-(1-\cos i)]\label{eq:wavedistance}\end{equation}
と表せる。
一方、出射点の偏角は$-d+i$なので、時刻$T$における光が伝搬した位置は
\begin{equation}\label{} \begin{pmatrix} X\\Y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\cos(d-i)+l\cos d\\-a\sin(d-i)-l\sin d\end{pmatrix}\end{equation}
と表せる。Descartes光近傍の光に対する重ね合わせを考えていくので、$Y'$軸が出射後のDescartes光方向になるような座標軸を取り直す：
\begin{equation}\label{} \begin{pmatrix} X'\\Y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(D-\pi/2)&-\sin(D-\pi/2)\\ \sin(D-\pi/2))&\cos(D-\pi/2)\end{pmatrix}\begin{pmatrix} X\\Y\end{pmatrix}\end{equation}
これを計算すると、$\delta=d-D$を用いて
\begin{equation}\begin{pmatrix} X'\\Y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-a\sin(\delta-i)-l\sin \delta\\-a\cos(\delta-i)-l\cos \delta\end{pmatrix}\label{eq:rotatedcoor}\end{equation}
となる。
近似展開
今考えている光とDescartes光の入射角・屈折角の微小差として$\alpha=i-I$、$\beta=r-R$を導入し、式(\ref{eq:rotatedcoor})を$\alpha$に対する最低次までで展開する。実際にやってみなければ分からないが、これは$\alpha^3$の項まで考える必要がある。まず、$\delta\simeq a_1\alpha+a_2\alpha^2+a_3\alpha^3$と展開すると、$d$と$i$の関係
\begin{equation}\label{} \left.\dfrac{\del d}{\del i}\right|_{i=I}=0\end{equation}
より
\begin{equation}\label{} \left.\dfrac{\del \delta}{\del \alpha}\right|_{\alpha=0}=0\end{equation}
が成り立つので、$a_1=0$であることが分かる。$a_2$、$a_3$の値はSnellの法則から定まるが、ここでは具体形を求める必要はない。$\beta$については、式(\ref{eq:dir2})より
\begin{equation}\label{} \beta\simeq\dfrac{1}{2}\alpha-\dfrac{1}{4}a_2\alpha^2-\dfrac{1}{4}a_3\alpha^3\end{equation}
と表すことができる。
$\delta^2\sim\alpha^4$なので、$\delta$に対しては1次の項までで展開してよく
\begin{equation}\label{}\begin{pmatrix} X'\\Y'\end{pmatrix}\simeq\begin{pmatrix} -a\delta\cos i+a\sin i-l\delta\\-a\cos i-a\delta\sin i-l\end{pmatrix}\end{equation}
となる。$X'$については、$\alpha^1$の項が最低次となり
\begin{equation}\label{} X'\simeq a\sin I+a\alpha\cos I\end{equation}
と求まる。$Y'$については、式(\ref{eq:wavedistance})を代入すると
\begin{equation}\label{} Y'\simeq-2a\cos i-a\delta\sin i+4na\cos r+a(-4n+1)\end{equation}
となり、各項を展開すると
\begin{align}\label{} -2a\cos i&\simeq-2a\left[\left(1-\dfrac{1}{2}\alpha^2\right)\cos I-\left(\alpha-\dfrac{1}{6}\alpha^3\right)\sin I \right]\\ -a\delta\sin i &\simeq -a\left[a_2\alpha^3\cos I+\left(a_2\alpha^2+a_3\alpha^3 \right)\sin I \right]\\ 4na\cos r&\simeq4na\left[\left(1-\dfrac{1}{8}\alpha^2+\dfrac{1}{8}a_2\alpha^3 \right)\cos R\right.\nonumber\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.-\left(\dfrac{1}{2}\alpha-\dfrac{1}{4}a_2\alpha^2-\dfrac{1}{4}a_3\alpha^3-\dfrac{1}{48}\alpha^3 \right)\sin R \right]\end{align}
となる。さらに、Snellの法則
\begin{equation}\label{eq:snellDIR} \sin I=n\sin R\end{equation}
と、式(\ref{eq:cosI})、式(\ref{eq:snellDIR})から求まる関係式
\begin{equation}\label{} 2\cos I=n\cos R\end{equation}
を用いれば、
\begin{equation}\label{} Y'\simeq a(6\cos I-4n+1)-\dfrac{a\alpha^3}{4}\sin I\end{equation}
と求まる。
第3回へ続く。
